Übung 34

Im Skript oben wird dieses Polygon

vertex(100, 200, 0) // Ecke des Polygons
vertex(400, 200, 0) // Ecke des Polygons
vertex(400, 400, 0) // Ecke des Polygons
vertex(100, 400, 0) // Ecke des Polygons
vertex(100, 200, 0) // Ecke des Polygons

um 10 Grad am Ursprung um die Z-Achse rotiert. Es sollen sich folgende Werte ergeben:

vertex(64, 214, 0) // Ecke des Polygons
vertex(359, 266, 0) // Ecke des Polygons
vertex(325, 463, 0) // Ecke des Polygons
vertex(29, 411, 0) // Ecke des Polygons
vertex(64, 214, 0) // Ecke des Polygons

Rechnen Sie nach: Stimmen diese Werte?

P(x’, y’) = P(x ⋅ cos(b) − y ⋅ sin(b), x ⋅ sin(b) + y ⋅ cos(b))

b = 10°

x = 100, y = 200

x’ = 100 ⋅ cos(10°) − 200 ⋅ sin(10°) ≈ 63,75
y’ = 100 ⋅ sin(10°) + 200 ⋅ cos(10°) ≈ 214,33

P(64, 214) ✅

x = 400, y = 200

x’ = 400 ⋅ cos(10°) − 200 ⋅ sin(10°) ≈ 359,19
y’ = 400 ⋅ sin(10°) + 200 ⋅ cos(10°) ≈ 266,42

P(359, 266) ✅

x = 400, y = 400

x’ = 400 ⋅ cos(10°) − 400 ⋅ sin(10°) ≈ 324,46
y’ = 400 ⋅ sin(10°) + 400 ⋅ cos(10°) ≈ 463,38

P(325, 463) ✅

x = 100, y = 400

x’ = 100 ⋅ cos(10°) − 400 ⋅ sin(10°) ≈ 29,02
y’ = 100 ⋅ sin(10°) + 400 ⋅ cos(10°) ≈ 411,29

P(29, 411) ✅

Wir haben uns die Rotationsformeln nur im zweidimensionalen Raum veranschaulicht. Wieso kann ich sie in unserem Beispiel anwenden, obwohl wir im dreidimensionalen Raum sind?

Wie bereits in der Aufgabe beschrieben, haben wir in diesem Beispiel eine Rotation um die z-Achse vorgenommen, die im 2D-Raum streng genommen nicht existiert. Wenn man die 2D-Fläche allerdings im dreidimensionalen Raum von einer Seite aus betrachtet, ergibt diese Argumentation wieder Sinn. Nach demselben Prinzip kann man im dreidimensionalen Raum auch um die anderen Achsen rotieren. Wir betrachtet dabei einfach eine Rotation um eine Achse auf einmal und können dann verschiedenste Rotationen herbeiführen, indem man die einzelnen Rotationen um je eine Achse kombinieren (also nacheinander anwenden).